Математический анализ Примеры

$64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$

Этап 1

Запишем $64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ в виде функции.

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{2}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $2$ на $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $54$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{54}{x}$ по $x$ равна $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $- 1$ на $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Этап 2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.1.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.2.1

Объединим $- 54$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Этап 2.1.1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Этап 2.1.1.5.2.3

Добавим $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ и $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $128 x$ по $x$ равна $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $128$ на $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 54$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{54}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$128 - 54 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$128 - 54 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$128 - 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$128 - 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 2.1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 2.1.2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$128 - 54 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 2.1.2.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$128 - 54 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 2.1.2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$128 - 54 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 2.1.2.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$128 - 54 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.1.2.3.10

Умножим $- 2$ на $- 54$ .

$128 + 108 x^{- 3}$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 108 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.2.4.2

Объединим $108$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{108}{x^{3}}$

Этап 2.1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{108}{x^{3}} + 128$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{108}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{108}{x^{3}} + 128 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $128$ из обеих частей уравнения.

$\frac{108}{x^{3}} = - 128$

Этап 2.2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.2.4

Каждый член в $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим каждый член $\frac{108}{x^{3}} = - 128$ на $x^{3}$ .

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{108}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$108 = - 128 x^{3}$

Этап 2.2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 128 x^{3} = 108$ .

$- 128 x^{3} = 108$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $108$ из обеих частей уравнения.

$- 128 x^{3} - 108 = 0$

Этап 2.2.5.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 128 x^{3} - 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 128 x^{3}$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 108 = 0$

Этап 2.2.5.3.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 108$ .

$- 4 (32 x^{3}) - 4 \cdot 27 = 0$

Этап 2.2.5.3.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (32 x^{3}) - 4 (27)$ .

$- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$

Этап 2.2.5.4

Разделим каждый член $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Разделим каждый член $- 4 (32 x^{3} + 27) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 (32 x^{3} + 27)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.5.4.2.1.2

Разделим $32 x^{3} + 27$ на $1$ .

$32 x^{3} + 27 = \frac{0}{- 4}$

Этап 2.2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$32 x^{3} + 27 = 0$

Этап 2.2.5.5

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$32 x^{3} = - 27$

Этап 2.2.5.6

Разделим каждый член $32 x^{3} = - 27$ на $32$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.1

Разделим каждый член $32 x^{3} = - 27$ на $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Этап 2.2.5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.2.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{- 27}{32}$

Этап 2.2.5.6.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 27}{32}$

Этап 2.2.5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} = - \frac{27}{32}$

Этап 2.2.5.7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$

Этап 2.2.5.8

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{27}{32}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.1

Перепишем $- \frac{27}{32}$ в виде ${(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{27}{32}}$

Этап 2.2.5.8.1.2

Вынесем полную степень $3^{3}$ из $27$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{32}}$

Этап 2.2.5.8.1.3

Вынесем полную степень $2^{3}$ из $32$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}}$

Этап 2.2.5.8.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{3^{3} \cdot 1}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4})}$

Этап 2.2.5.8.1.5

Перепишем ${(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$ в виде ${(- \frac{3}{2})}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{1}{4}}$

Этап 2.2.5.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Этап 2.2.5.8.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 2.2.5.8.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 2.2.5.8.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 2.2.5.8.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 2.2.5.8.6.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 2.2.5.8.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 2.2.5.8.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 2.2.5.8.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 2.2.5.8.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 2.2.5.8.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.2.5.8.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 2.2.5.8.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 2.2.5.8.6.5.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 2.2.5.8.7.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 2.2.5.8.7.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.7.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 2.2.5.8.7.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.8.8.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Этап 2.2.5.8.8.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.8.1.4

Перепишем это выражение.

$x = - 3 \frac{\sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.8.2

Объединим $- 3$ и $\frac{\sqrt[3]{2}}{4}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 2.2.5.8.8.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{54}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}) \cup (- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{108}{{(- 3)}^{3}} + 128$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{108}{- 27} + 128$

Этап 5.2.1.2

Разделим $108$ на $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 4 + 128$

Этап 5.2.2

Добавим $- 4$ и $128$ .

$f'' (- 3) = 124$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $124$ .

$124$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.47$ .

$f'' (- 0.47) = \frac{108}{{(- 0.47)}^{3}} + 128$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.47$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.47) = \frac{108}{- 0.103823} + 128$

Этап 6.2.1.2

Разделим $108$ на $- 0.103823$ .

$f'' (- 0.47) = - 1040.23193319 + 128$

Этап 6.2.2

Добавим $- 1040.23193319$ и $128$ .

$f'' (- 0.47) = - 912.23193319$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 912.23193319$ .

$- 912.23193319$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ , поскольку $f'' (- 0.47)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{108}{{(2)}^{3}} + 128$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{108}{8} + 128$

Этап 7.2.1.2

Сократим общий множитель $108$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $108$ .

$f'' (2) = \frac{4 (27)}{8} + 128$

Этап 7.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 27}{4 \cdot 2} + 128$

Этап 7.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 27}{4 \cdot 2} + 128$

Этап 7.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{27}{2} + 128$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $128$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{27}{2} + 128 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3

Объединим $128$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{27}{2} + \frac{128 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (2) = \frac{27 + 128 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $128$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{27 + 256}{2}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $27$ и $256$ .

$f'' (2) = \frac{283}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{283}{2}$ .

$\frac{283}{2}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9