Математический анализ Примеры

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Этап 1.2

Решим $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Этап 1.2.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $\ln (7 e^{x})$ в виде $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Этап 1.2.2.2

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Этап 1.2.2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Этап 1.2.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Этап 1.2.3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $\ln (7 x e^{x})$ в виде $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\ln (7 x)$ в виде $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Этап 1.2.3.3

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Этап 1.2.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Этап 1.2.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Этап 1.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Этап 1.2.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Этап 1.2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Этап 1.2.7.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Этап 1.2.8

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Этап 1.2.9

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Этап 1.2.10

Перепишем $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Этап 1.2.11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Этап 1.2.11.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Этап 1.2.11.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Этап 1.2.11.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + y = 7 x e^{x}$

Этап 1.2.11.4

Каждый член в $\frac{1}{x} = 1$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = 1$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Этап 1.2.11.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Этап 1.2.11.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 1 x$

Этап 1.2.11.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.4.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = x$

Этап 1.2.11.5

Перепишем уравнение в виде $x = 1$ .

$x = 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 7 (1) \cdot e$

Этап 1.3.2.2

Умножим $7$ на $1$ .

$y = 7 e$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 7 e)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Этап 3.4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Этап 3.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Этап 3.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 7$ из-под знака интеграла.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Этап 3.8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Этап 3.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Найдем значение $x e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Этап 3.9.2

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Этап 3.9.3

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Упростим.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.2

Умножим $e$ на $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.4

Умножим $0$ на $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.5

Добавим $e$ и $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.6

Упростим.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Этап 3.9.4.9

Упростим.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Этап 3.9.4.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Этап 3.9.4.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Этап 3.10.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Этап 3.10.1.2

Вычтем $e$ из $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Этап 3.10.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Этап 3.10.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Этап 3.10.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Этап 3.10.1.6

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Этап 3.10.2

Добавим $7$ и $7$ .

$14 - 7 e$

Этап 4