Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 16$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $\sqrt{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Этап 3.5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $16$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.6

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.5.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 3.5.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.5.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Этап 3.5.2.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Этап 3.5.2.12

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + 0$

Этап 3.5.2.13

Добавим $\frac{128}{3}$ и $0$ .

$\frac{128}{3}$

Этап 4