Математический анализ Примеры

$y = x - x^{5}$

Этап 1

Изменим порядок $x$ и $- x^{5}$ .

$y = - x^{5} + x$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - x^{5} + x$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{5} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 1$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 x^{4} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x^{4} = - 1$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 5 x^{4} = - 1$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 5 x^{4} = - 1$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{4} = \frac{1}{5}$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

Этап 4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Этап 4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Этап 4.4.4.2

Возведем $\sqrt[4]{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Этап 4.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

Этап 4.4.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

Этап 4.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[4]{5}}^{4}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 4.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 4.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Этап 4.4.4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Этап 4.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

Этап 4.4.4.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{5}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{5^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

Этап 4.4.5.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = - x^{5} + x$ в точке $x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Перепишем ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ в виде $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.2.2

Возведем $125$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем $30517578125$ в виде $125^{4} \cdot 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.3.1

Вынесем множитель $244140625$ из $30517578125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.2.3.2

Перепишем $244140625$ в виде $125^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.4

Сократим общий множитель $125$ и $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.4.1

Вынесем множитель $125$ из $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $125$ из $3125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 5.2.3

Чтобы записать $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 5.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Перенесем $5$ влево от $\sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 5.2.6.2

Добавим $- \sqrt[4]{125}$ и $5 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 5.2.7

Окончательный ответ: $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 6

Решим исходную функцию $f (x) = - x^{5} + x$ в точке $x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ в виде $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.5.2

Возведем $125$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем $30517578125$ в виде $125^{4} \cdot 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.3.1

Вынесем множитель $244140625$ из $30517578125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.5.3.2

Перепишем $244140625$ в виде $125^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.6

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.7

Сократим общий множитель $125$ и $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Вынесем множитель $125$ из $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $125$ из $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Этап 6.2.3

Чтобы записать $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 6.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Этап 6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Этап 6.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 6.2.6.2

Вычтем $5 \sqrt[4]{125}$ из $\sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 6.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 6.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 7

Горизонтальные касательные функции $f (x) = - x^{5} + x$ ― $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Этап 8