Математический анализ Примеры

$y = 5 x - 10 \cos (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x - 10 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \cos (x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 - 10 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$5 + 10 \sin (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 + 10 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$10 \sin (x) = - 5$

Этап 3.2

Разделим каждый член $10 \sin (x) = - 5$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $10 \sin (x) = - 5$ на $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 5}{10}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\sin (x) = \frac{5 (- 1)}{10}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 3.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 3.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 3.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 3.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 3.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 3.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 3.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 3.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 3.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ в точке $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 5 (\frac{7 π}{6}) - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $5 (\frac{7 π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $5$ и $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (7 π)}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $7$ на $5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Этап 4.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 5 (- \sqrt{3})$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ в точке $x = \frac{11 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 5 (\frac{11 π}{6}) - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $5 (\frac{11 π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $5$ и $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{5 (11 π)}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $11$ на $5$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Этап 5.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{π}{6})$

Этап 5.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ ― $y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Этап 7