Математический анализ Примеры

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = x$ , $b = x^{2}$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

Этап 1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Этап 1.4.2

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Этап 1.4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.5.5

Перепишем $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ в виде $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Этап 1.6.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Этап 1.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Этап 1.6.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Этап 1.6.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.6.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.6.6

Перепишем $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ в виде $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Этап 1.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x y^{2} + x^{2} y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.2.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 3.2.3.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

Этап 3.2.4

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x y'$ из $2 x y y' + x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' (2 y) + x y' x$ .

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ на $x (2 y + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ на $x (2 y + x)$ .

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $2 y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

Этап 3.5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

Этап 3.5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y}{2 y + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 3.5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (2 y + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.3.1

Умножим $\frac{2 y}{2 y + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

Этап 3.5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 y + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} - 2 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.9.1

Перепишем $- (y + 2 x)$ в виде $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Этап 3.5.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$y (y + 2 x) = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $y (y + 2 x) = 0$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разделим каждый член $y (y + 2 x) = 0$ на $y$ .

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Этап 4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Разделим $y + 2 x$ на $1$ .

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

Этап 4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $y$ .

$y + 2 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - y$

Этап 4.2.3

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2}$

Этап 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.8

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.9

Объединим $24$ и $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.11

Умножим $24$ на $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.12.1

Умножим $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.12.2

Умножим $8$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13

Перепишем $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ в виде ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.7

Перепишем $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.8

Добавим круглые скобки.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.13.9

Добавим круглые скобки.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.15

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.18

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Этап 5.2.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим выражение $\frac{- 2 y}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $- y$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Этап 5.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Этап 5.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 5.2.7

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Этап 5.2.8

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Этап 5.2.9

Умножим $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Этап 5.2.9.2

Умножим $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Этап 5.2.10

Изменим порядок множителей в $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Этап 5.2.11

Окончательный ответ: $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.8

Чтобы записать $24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.9

Объединим $24$ и $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.11

Умножим $24$ на $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.12.1

Умножим $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.12.2

Умножим $8$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13

Перепишем $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ в виде ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.7

Перепишем $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.8

Добавим круглые скобки.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.13.9

Добавим круглые скобки.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.15

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.18

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Этап 6.2.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим выражение $\frac{- 2 y}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Этап 6.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Этап 6.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $- y$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Этап 6.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Этап 6.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Этап 6.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 6.2.7

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Этап 6.2.8

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Этап 6.2.9

Умножим $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Этап 6.2.9.2

Умножим $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Этап 6.2.10

Изменим порядок множителей в $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Этап 6.2.11

Окончательный ответ: $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Этап 8