Математический анализ Примеры

$5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 24$ и $c = 5 x^{2} - 10 x + 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $5$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $- 10$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.4.3

Умножим $- 16$ на $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.5

Вычтем $128$ из $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.6.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.7

Перепишем $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим $5$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $- 10$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.4.3

Умножим $- 16$ на $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.5

Вычтем $128$ из $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.6.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.7

Перепишем $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.4.5

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Этап 1.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Этап 1.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Умножим $5$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $- 10$ на $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $- 16$ на $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.5

Вычтем $128$ из $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $16$ из $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $16$ из $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.6.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.7.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (6) - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Этап 1.5.5.4

Перепишем $- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ в виде $- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$10 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$10 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 x + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$10 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 y$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2.6

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + 0$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$ и $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$

Этап 3.2.7.2

Изменим порядок членов.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10$

Этап 3.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10 = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' + 24 y' - 10 = - 10 x$

Этап 3.5.1.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$8 y y' + 24 y' = - 10 x + 10$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $8 y'$ из $8 y y' + 24 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $8 y'$ из $8 y y'$ .

$8 y' y + 24 y' = - 10 x + 10$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $8 y'$ из $24 y'$ .

$8 y' y + 8 y' \cdot 3 = - 10 x + 10$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $8 y'$ из $8 y' y + 8 y' \cdot 3$ .

$8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ на $8 (y + 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ на $8 (y + 3)$ .

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (y + 3)$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{8 (y + 3)}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (y + 3)$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{2 (4 (y + 3))}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 (y + 3))}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{5}{4 (y + 3)}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5 x}{4 (y + 3)} = - \frac{5}{4 (y + 3)}$

Этап 4.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- 5 x = - 5$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 5 x = - 5$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 5$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 5}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 5$ на $- 5$ .

$x = 1$

Этап 5

Solve the function $f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $- 5$ и $10$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{5 + 28}}{2}$

Этап 5.2.1.5

Добавим $5$ и $28$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $10$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Этап 6.2.1.4

Добавим $- 5$ и $10$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{5 + 28}}{2}$

Этап 6.2.1.5

Добавим $5$ и $28$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 8