Математический анализ Примеры

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$27 - x^{3} = 0$

Этап 1.2

Решим $27 - x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$- x^{3} = - 27$

Этап 1.2.2

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$- x^{3} + 27 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем $27$ в виде $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Этап 1.2.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 1.2.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Этап 1.2.3.4.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Этап 1.2.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.6

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Этап 1.2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 1.2.6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2

Изменим порядок $27$ и $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $27 x$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.5

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.5.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.6

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.7

Умножим $27$ на $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Этап 4.8.3.8

Умножим $- 27$ на $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Этап 4.8.3.9

Вычтем $27$ из $81$ .

$- 20 + 54$

Этап 4.8.3.10

Добавим $- 20$ и $54$ .

$34$

Этап 5