Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ , $0 \leq x \leq 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} - 4 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 3 x = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ .

$x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3$ .

$x (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Этап 1.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1 + y = 0$

Этап 1.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 3, 1$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(1, 0)$

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ .

$\int_{0}^{1} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x$

Этап 3.8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} - 0) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3} + 0) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - 4 (\frac{1}{3}) + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.12

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 4}{3} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.14

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.15

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.16.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{3}{12} - \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{12} - \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{3}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 4 \cdot 4}{12} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.18.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{3 - 16}{12} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.18.2

Вычтем $16$ из $3$ .

$\frac{- 13}{12} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{13}{12} + 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.20

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 3.10.2.4.22

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.10.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 3.10.2.4.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 3.10.2.4.23

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 3.10.2.4.24

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- \frac{13}{12} + 3 (\frac{1}{2})$

Этап 3.10.2.4.25

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{13}{12} + \frac{3}{2}$

Этап 3.10.2.4.26

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{13}{12} + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 3.10.2.4.27

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.27.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{13}{12} + \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Этап 3.10.2.4.27.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{13}{12} + \frac{3 \cdot 6}{12}$

Этап 3.10.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 13 + 3 \cdot 6}{12}$

Этап 3.10.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.29.1

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{- 13 + 18}{12}$

Этап 3.10.2.4.29.2

Добавим $- 13$ и $18$ .

$\frac{5}{12}$

Этап 4

$A r e a = \int_{1}^{3} 0 d x - \int_{1}^{3} x^{3} - 4 x^{2} + 3 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 4 x^{2} + 3 x) d x$

Этап 5.2

Вычтем $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ из $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 4 x^{2} + 3 x) d x$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{3} - x^{3} - (- 4 x^{2}) - (3 x) d x$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- x^{3} + 4 x^{2} - (3 x)$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{3} + 4 x^{2} - 3 x$

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 4 x^{2} - 3 x d x$

Этап 5.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.9

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 3 x d x$

Этап 5.12

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 3 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 5.13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 5.14.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{81 - 1}{4} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$- \frac{80}{4} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{1} + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.6

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 + 4 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 20 + 4 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- 20 + 4 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 20 + 4 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- 20 + 4 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 20 + 4 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- 20 + 4 (9 - \frac{1^{3}}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9

Единица в любой степени равна единице.

$- 20 + 4 (9 - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 4 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.11

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 4 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 20 + 4 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.13.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- 20 + 4 \frac{27 - 1}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.13.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$- 20 + 4 (\frac{26}{3}) - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.14

Объединим $4$ и $\frac{26}{3}$ .

$- 20 + \frac{4 \cdot 26}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15

Умножим $4$ на $26$ .

$- 20 + \frac{104}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.16

Чтобы записать $- 20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 20 \cdot \frac{3}{3} + \frac{104}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17

Объединим $- 20$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{104}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 \cdot 3 + 104}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.19.1

Умножим $- 20$ на $3$ .

$\frac{- 60 + 104}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.19.2

Добавим $- 60$ и $104$ .

$\frac{44}{3} - 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{44}{3} - 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.21

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{44}{3} - 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.14.2.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{44}{3} - 3 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 5.14.2.4.23

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{44}{3} - 3 (\frac{8}{2})$

Этап 5.14.2.4.24

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.24.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{44}{3} - 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 5.14.2.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{44}{3} - 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 5.14.2.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{44}{3} - 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.14.2.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{44}{3} - 3 (\frac{4}{1})$

Этап 5.14.2.4.24.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{44}{3} - 3 \cdot 4$

Этап 5.14.2.4.25

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{44}{3} - 12$

Этап 5.14.2.4.26

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{44}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.14.2.4.27

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{44}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}$

Этап 5.14.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{44 - 12 \cdot 3}{3}$

Этап 5.14.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.29.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$\frac{44 - 36}{3}$

Этап 5.14.2.4.29.2

Вычтем $36$ из $44$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{5}{12} + \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{12} + \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{12} + \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5}{12} + \frac{8 \cdot 4}{12}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + 8 \cdot 4}{12}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $8$ на $4$ .

$\frac{5 + 32}{12}$

Этап 6.4.2

Добавим $5$ и $32$ .

$\frac{37}{12}$

Этап 7