Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ , $- 2 \leq x \leq 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 2 x = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Этап 1.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2 + y = 0$

Этап 1.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x + 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, - 2$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(- 2, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(- 2, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{- 1} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ .

$\int_{- 2}^{- 1} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{- 1} 3 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} 2 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} 3 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} 2 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} 2 x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 2 x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 2 x d x$

Этап 3.8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{- 1} + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{4} {(- 1)}^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 16 + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} - 16 (\frac{1}{4}) + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.5

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 16}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{- 4}{1} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.6.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 4 + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.7

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.8

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.10.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{1 - 16}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.10.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$\frac{- 15}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4} + 3 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.14

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4} + 3 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.17

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{15}{4} + 3 \frac{- 1 + 8}{3} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.19

Добавим $- 1$ и $8$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{7}{3}) + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.20

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.21

Умножим $3$ на $7$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{21}{3} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.22

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.22.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{15}{4} + \frac{7}{1} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.22.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} + 7 + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.23

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.24

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.26.1

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{- 15 + 28}{4} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.26.2

Добавим $- 15$ и $28$ .

$\frac{13}{4} + 2 ((\frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.27

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.4.28

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

Этап 3.10.2.4.29

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.29.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 3.10.2.4.29.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.29.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 3.10.2.4.29.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.4.29.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

Этап 3.10.2.4.29.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

Этап 3.10.2.4.30

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 2)$

Этап 3.10.2.4.31

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.10.2.4.32

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Этап 3.10.2.4.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13}{4} + 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.10.2.4.34

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.34.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{13}{4} + 2 \frac{1 - 4}{2}$

Этап 3.10.2.4.34.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{13}{4} + 2 (\frac{- 3}{2})$

Этап 3.10.2.4.35

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{13}{4} + 2 (- \frac{3}{2})$

Этап 3.10.2.4.36

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{3}{2})$

Этап 3.10.2.4.37

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Этап 3.10.2.4.38

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 6}{2}$

Этап 3.10.2.4.39

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.39.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Этап 3.10.2.4.39.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.39.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 3.10.2.4.39.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 3.10.2.4.39.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{4} + \frac{- 3}{1}$

Этап 3.10.2.4.39.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{13}{4} - 3$

Этап 3.10.2.4.40

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.10.2.4.41

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.10.2.4.42

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.10.2.4.43

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.43.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{13 - 12}{4}$

Этап 3.10.2.4.43.2

Вычтем $12$ из $13$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 4

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{3} + 3 x^{2} + 2 x) d x$

Этап 5.2

Вычтем $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ из $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{3} + 3 x^{2} + 2 x) d x$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 1}^{0} - x^{3} - (3 x^{2}) - (2 x) d x$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} - (2 x)$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} - 2 x$

$\int_{- 1}^{0} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x d x$

Этап 5.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 2 x d x$

Этап 5.12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 2 \int_{- 1}^{0} x d x$

Этап 5.13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 5.14.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$- (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- (0 - \frac{1}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$- - \frac{1}{4} - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} - 3 (0 - \frac{- 1}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} - 3 (0 - - \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (0 + 1 (\frac{1}{3})) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (0 + \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.13

Добавим $0$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3}) - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.14

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{3} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 1 - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.16

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.19.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1 - 4}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.19.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4} - 2 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.22

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.23

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (0 - \frac{1}{2})$

Этап 5.14.2.4.24

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{3}{4} - 2 (- \frac{1}{2})$

Этап 5.14.2.4.25

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2})$

Этап 5.14.2.4.26

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 5.14.2.4.27

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.27.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 5.14.2.4.27.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} + 1$

Этап 5.14.2.4.28

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 5.14.2.4.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 4}{4}$

Этап 5.14.2.4.30

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Сложим площади $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 6.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 7