Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.6.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{5}{6}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ .

$\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + 0)$

Этап 1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x)$

Этап 1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Этап 1.11.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Этап 1.11.4

Объединим $\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ и $x$ .

$\frac{10 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Этап 1.11.5

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$\frac{2 (5 x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Этап 1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Этап 1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Этап 1.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ по $x$ равна $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ на $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.8.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.9.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.9.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.9.4

Объединим $\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ и $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - 2 \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.13.4

Объединим $\frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ и $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x \cdot x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{2}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.18

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.19.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.19.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.21

Чтобы записать ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.22

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ и $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.24

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.24.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 + 1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.24.4

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.24.5

Разделим $6$ на $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.25

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.26

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.27

Перепишем $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде произведения.

$\frac{5}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.28

Умножим $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ на $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2.29

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}$

Этап 2.29.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

Этап 2.29.3

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

Этап 2.29.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

Этап 2.29.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

Этап 2.29.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

Этап 2.29.6

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.30

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}})}$

Этап 2.31

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (3 x^{2}) + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.3.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.3.1.2

Умножим $5 (3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.3.1.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 \cdot 3 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.3.1.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.3.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 - 5 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.3.2

Вычтем $5 x^{2}$ из $15 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.4

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.4.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{5 (2 x^{2}) + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.4.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 (2 x^{2}) + 5 (3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 2.32.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 x^{2}) + 5 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$