Математический анализ Примеры

$p (x) = - x^{4} + 10 x^{2} + 8 x - 8$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$- {(- 2)}^{4} + 10 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) - 8$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$- 1 \cdot 16 + 10 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) - 8$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 16 + 10 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) - 8$

Этап 4.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 16 + 10 \cdot 4 + 8 (- 2) - 8$

Этап 4.1.4

Умножим $10$ на $4$ .

$- 16 + 40 + 8 (- 2) - 8$

Этап 4.1.5

Умножим $8$ на $- 2$ .

$- 16 + 40 - 16 - 8$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 16$ и $40$ .

$24 - 16 - 8$

Этап 4.2.2

Вычтем $16$ из $24$ .

$8 - 8$

Этап 4.2.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{4} + 10 x^{2} + 8 x - 8}{x + 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(- 1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$

	$- 1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$
	$- 1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$
	$- 1$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(10)$ .

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$
	$- 1$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$
	$- 1$	$2$	$6$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$	$- 12$
	$- 1$	$2$	$6$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$	$- 12$
	$- 1$	$2$	$6$	$- 4$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$	$- 12$	$8$
	$- 1$	$2$	$6$	$- 4$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$- 1$	$0$	$10$	$8$	$- 8$
		$2$	$- 4$	$- 12$	$8$
	$- 1$	$2$	$6$	$- 4$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$- 1 x^{3} + 2 x^{2} + (6) x - 4$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$- x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 4$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $- x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 7.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 + 2 {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 + 2 {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + 8 + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.6

Добавим $8$ и $8$ .

$16 + 6 \cdot - 2 - 4$

Этап 7.1.3.7

Умножим $6$ на $- 2$ .

$16 - 12 - 4$

Этап 7.1.3.8

Вычтем $12$ из $16$ .

$4 - 4$

Этап 7.1.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 7.1.4

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 4}{x + 2}$

Этап 7.1.5

Разделим $- x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 4$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$4$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 8 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$	-	$4$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$	-	$4$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							-	$2 x$	-	$4$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 4$ .

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							+	$2 x$	+	$4$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$4 x$	-	$2$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$6 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$2 x$	-	$4$
							+	$2 x$	+	$4$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 4 x - 2$

Этап 7.1.6

Запишем $- x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 4$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (- x^{2} + 4 x - 2) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$- x^{2} + 4 x - 2 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.4

Приравняем $- x^{2} + 4 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $- x^{2} + 4 x - 2$ к $0$ .

$- x^{2} + 4 x - 2 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $- x^{2} + 4 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 4$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 7.4.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 7.4.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Этап 7.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (- x^{2} + 4 x - 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x + 2) (x - 2 - \sqrt{2}) (x - 2 + \sqrt{2})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $- x^{4} + 10 x^{2} + 8 x - 8$ .

$x = - 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = - 2, 3.41421356 \dots, 0.58578643 \dots$

Этап 11