Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{11 x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{11 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{11 x}] + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 11 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $11 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $11 x$ .

$x^{2} (e^{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} [x])) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{11 x} (11 \cdot 1)) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $11$ на $1$ .

$x^{2} (e^{11 x} \cdot 11) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $11$ влево от $e^{11 x}$ .

$x^{2} (11 \cdot e^{11 x}) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$11 e^{11 x} x^{2} + 2 e^{11 x} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $11 e^{11 x} x^{2} + 2 e^{11 x} x$ .

$f' (x) = 11 x^{2} e^{11 x} + 2 x e^{11 x}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $11 x^{2} e^{11 x} + 2 x e^{11 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [11 x^{2} e^{11 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{2} e^{11 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [11 x^{2} e^{11 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x^{2} e^{11 x}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{11 x}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{11 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.2

$11 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{11 x}] + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $11 x$ .

$11 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$11 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $11 x$ .

$11 (x^{2} (e^{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 (x^{2} (e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} [x])) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$11 (x^{2} (e^{11 x} (11 \cdot 1)) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$11 (x^{2} (e^{11 x} (11 \cdot 1)) + e^{11 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.7

Умножим $11$ на $1$ .

$11 (x^{2} (e^{11 x} \cdot 11) + e^{11 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.2.8

Перенесем $11$ влево от $e^{11 x}$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{11 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{11 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{11 x}]$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{11 x}]$

Этап 1.2.3.2

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{11 x}] + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $11 x$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $11 x$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.4

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} [x])) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{11 x} (11 \cdot 1)) + e^{11 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{11 x} (11 \cdot 1)) + e^{11 x} \cdot 1)$

Этап 1.2.3.7

Умножим $11$ на $1$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (e^{11 x} \cdot 11) + e^{11 x} \cdot 1)$

Этап 1.2.3.8

Перенесем $11$ влево от $e^{11 x}$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (11 \cdot e^{11 x}) + e^{11 x} \cdot 1)$

Этап 1.2.3.9

Умножим $e^{11 x}$ на $1$ .

$11 (x^{2} (11 e^{11 x}) + e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (11 e^{11 x}) + e^{11 x})$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 (x^{2} (11 e^{11 x})) + 11 (e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (11 e^{11 x}) + e^{11 x})$

Этап 1.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$11 (x^{2} (11 e^{11 x})) + 11 (e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (11 e^{11 x})) + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $11$ на $11$ .

$121 (x^{2} (e^{11 x})) + 11 (e^{11 x} (2 x)) + 2 (x (11 e^{11 x})) + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.3.2

Умножим $2$ на $11$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 22 (e^{11 x} (x)) + 2 (x (11 e^{11 x})) + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.3.3

Умножим $11$ на $2$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 22 e^{11 x} x + 22 (x (e^{11 x})) + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.3.4

Добавим $22 e^{11 x} x$ и $22 x e^{11 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.4.1

Перенесем $e^{11 x}$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 22 x e^{11 x} + 22 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.3.4.2

Добавим $22 x e^{11 x}$ и $22 x e^{11 x}$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.4

Изменим порядок членов.

$121 e^{11 x} x^{2} + 44 e^{11 x} x + 2 e^{11 x}$

Этап 1.2.4.5

Изменим порядок множителей в $121 e^{11 x} x^{2} + 44 e^{11 x} x + 2 e^{11 x}$ .

$f'' (x) = 121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $121 x^{2} e^{11 x} + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $121 x^{2} e^{11 x}$ .

$e^{11 x} (121 x^{2}) + 44 x e^{11 x} + 2 e^{11 x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $44 x e^{11 x}$ .

$e^{11 x} (121 x^{2}) + e^{11 x} (44 x) + 2 e^{11 x} = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $2 e^{11 x}$ .

$e^{11 x} (121 x^{2}) + e^{11 x} (44 x) + e^{11 x} \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $e^{11 x} (121 x^{2}) + e^{11 x} (44 x)$ .

$e^{11 x} (121 x^{2} + 44 x) + e^{11 x} \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $e^{11 x}$ из $e^{11 x} (121 x^{2} + 44 x) + e^{11 x} \cdot 2$ .

$e^{11 x} (121 x^{2} + 44 x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{11 x} = 0$

$121 x^{2} + 44 x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{11 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{11 x}$ к $0$ .

$e^{11 x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{11 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{11 x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{11 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $121 x^{2} + 44 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $121 x^{2} + 44 x + 2$ к $0$ .

$121 x^{2} + 44 x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $121 x^{2} + 44 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 121$ , $b = 44$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot (121 \cdot 2)}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $44$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 121 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 121 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 484 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 484$ на $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $968$ из $1936$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $968$ в виде $22^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $484$ из $968$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{484 (2)}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{22^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $44$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 121 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 121 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 484 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 484$ на $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $968$ из $1936$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $968$ в виде $22^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $484$ из $968$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{484 (2)}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{22^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.4.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{11}$

Этап 2.5.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{11}$

Этап 2.5.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $44$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 121 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 121 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 484 \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 484$ на $2$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{1936 - 968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $968$ из $1936$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{968}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $968$ в виде $22^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $484$ из $968$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{484 (2)}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$x = \frac{- 44 \pm \sqrt{22^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{2 \cdot 121}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $121$ .

$x = \frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 44 \pm 22 \sqrt{2}}{242}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.5.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{11}$

Этап 2.5.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{11}$

Этап 2.5.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{11}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{11}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{11 x} (121 x^{2} + 44 x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{11}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{11}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 0.05325331$ в $f (x) = x^{2} e^{11 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.05325331$ .

$f (- 0.05325331) = {(- 0.05325331)}^{2} e^{11 (- 0.05325331)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $- 0.05325331$ в степень $2$ .

$f (- 0.05325331) = 0.00283591 e^{11 (- 0.05325331)}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $11$ на $- 0.05325331$ .

$f (- 0.05325331) = 0.00283591 e^{- 0.58578643}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.05325331) = 0.00283591 (\frac{1}{e^{0.58578643}})$

Этап 3.1.2.4

Объединим $0.00283591$ и $\frac{1}{e^{0.58578643}}$ .

$f (- 0.05325331) = \frac{0.00283591}{e^{0.58578643}}$

Этап 3.1.2.5

Заменим $e$ приближением.

$f (- 0.05325331) = \frac{0.00283591}{{2.71828182}^{0.58578643}}$

Этап 3.1.2.6

Возведем $2.71828182$ в степень $0.58578643$ .

$f (- 0.05325331) = \frac{0.00283591}{1.79640318}$

Этап 3.1.2.7

Разделим $0.00283591$ на $1.79640318$ .

$f (- 0.05325331) = 0.00157866$

Этап 3.1.2.8

Окончательный ответ: $0.00157866$ .

$0.00157866$

Этап 3.2

Подставляя $- 0.05325331$ в $f (x) = x^{2} e^{11 x}$ , найдем точку $(- 0.05325331, 0.00157866)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.05325331, 0.00157866)$

Этап 3.3

Подставим $- 0.31038305$ в $f (x) = x^{2} e^{11 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.31038305$ .

$f (- 0.31038305) = {(- 0.31038305)}^{2} e^{11 (- 0.31038305)}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $- 0.31038305$ в степень $2$ .

$f (- 0.31038305) = 0.09633763 e^{11 (- 0.31038305)}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $11$ на $- 0.31038305$ .

$f (- 0.31038305) = 0.09633763 e^{- 3.41421356}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.31038305) = 0.09633763 (\frac{1}{e^{3.41421356}})$

Этап 3.3.2.4

Объединим $0.09633763$ и $\frac{1}{e^{3.41421356}}$ .

$f (- 0.31038305) = \frac{0.09633763}{e^{3.41421356}}$

Этап 3.3.2.5

Заменим $e$ приближением.

$f (- 0.31038305) = \frac{0.09633763}{{2.71828182}^{3.41421356}}$

Этап 3.3.2.6

Возведем $2.71828182$ в степень $3.41421356$ .

$f (- 0.31038305) = \frac{0.09633763}{30.39303779}$

Этап 3.3.2.7

Разделим $0.09633763$ на $30.39303779$ .

$f (- 0.31038305) = 0.00316972$

Этап 3.3.2.8

Окончательный ответ: $0.00316972$ .

$0.00316972$

Этап 3.4

Подставляя $- 0.31038305$ в $f (x) = x^{2} e^{11 x}$ , найдем точку $(- 0.31038305, 0.00316972)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.31038305, 0.00316972)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 0.05325331, 0.00157866), (- 0.31038305, 0.00316972)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 0.31038305) \cup (- 0.31038305, - 0.05325331) \cup (- 0.05325331, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 0.31038305)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.41038305$ .

$f'' (- 0.41038305) = 121 {(- 0.41038305)}^{2} e^{11 (- 0.41038305)} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.41038305$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.41038305) = 121 \cdot (0.16841424 e^{11 (- 0.41038305)}) + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $121$ на $0.16841424$ .

$f'' (- 0.41038305) = 20.37812408 e^{11 (- 0.41038305)} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $11$ на $- 0.41038305$ .

$f'' (- 0.41038305) = 20.37812408 e^{- 4.51421356} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 20.37812408 (\frac{1}{e^{4.51421356}}) + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.5

Объединим $20.37812408$ и $\frac{1}{e^{4.51421356}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = \frac{20.37812408}{e^{4.51421356}} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.41038305) = \frac{20.37812408}{{2.71828182}^{4.51421356}} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $4.51421356$ .

$f'' (- 0.41038305) = \frac{20.37812408}{91.30573151} + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.8

Разделим $20.37812408$ на $91.30573151$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 + 44 (- 0.41038305) \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.9

Умножим $44$ на $- 0.41038305$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 18.05685424 \cdot e^{11 (- 0.41038305)} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.10

Умножим $11$ на $- 0.41038305$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 18.05685424 \cdot e^{- 4.51421356} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 18.05685424 \cdot \frac{1}{e^{4.51421356}} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.12

Объединим $- 18.05685424$ и $\frac{1}{e^{4.51421356}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 + \frac{- 18.05685424}{e^{4.51421356}} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - \frac{18.05685424}{e^{4.51421356}} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.14

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - \frac{18.05685424}{{2.71828182}^{4.51421356}} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.15

Возведем $2.71828182$ в степень $4.51421356$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - \frac{18.05685424}{91.30573151} + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.16

Разделим $18.05685424$ на $91.30573151$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 1 \cdot 0.19776254 + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.17

Умножим $- 1$ на $0.19776254$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 0.19776254 + 2 e^{11 (- 0.41038305)}$

Этап 5.2.1.18

Умножим $11$ на $- 0.41038305$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 0.19776254 + 2 e^{- 4.51421356}$

Этап 5.2.1.19

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 0.19776254 + 2 (\frac{1}{e^{4.51421356}})$

Этап 5.2.1.20

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{4.51421356}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.22318559 - 0.19776254 + \frac{2}{e^{4.51421356}}$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $0.19776254$ из $0.22318559$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.02542304 + \frac{2}{e^{4.51421356}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0.02542304$ и $\frac{2}{e^{4.51421356}}$ .

$f'' (- 0.41038305) = 0.04732747$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.04732747$ .

$0.04732747$

Этап 5.3

При $- 0.41038305$ вторая производная имеет вид $0.04732747$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 0.31038305)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 0.31038305)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 0.31038305, - 0.05325331)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.\overline{18}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 121 {(- 0.\overline{18})}^{2} e^{11 (- 0.\overline{18})} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.\overline{18}$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 121 \cdot (0.03305785 e^{11 (- 0.\overline{18})}) + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $121$ на $0.03305785$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 4 e^{11 (- 0.\overline{18})} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $11$ на $- 0.\overline{18}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 4 e^{- 2} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = \frac{4}{e^{2}} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.\overline{18}) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.7

Возведем $2.71828182$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = \frac{4}{7.38905609} + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.8

Разделим $4$ на $7.38905609$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 + 44 (- 0.\overline{18}) \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $44$ на $- 0.\overline{18}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{11 (- 0.\overline{18})} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $11$ на $- 0.\overline{18}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.12

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.14

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.15

Возведем $2.71828182$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.16

Разделим $8$ на $7.38905609$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.17

Умножим $- 1$ на $1.08268226$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{11 (- 0.\overline{18})}$

Этап 6.2.1.18

Умножим $11$ на $- 0.\overline{18}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Этап 6.2.1.19

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Этап 6.2.1.20

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $1.08268226$ из $0.54134113$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 0.54134113$ и $\frac{2}{e^{2}}$ .

$f'' (- 0.\overline{18}) = - 0.27067056$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.27067056$ .

$- 0.27067056$

Этап 6.3

При $- 0.\overline{18}$ вторая производная имеет вид $- 0.27067056$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 0.31038305, - 0.05325331)$ .

Убывание на $(- 0.31038305, - 0.05325331)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.05325331, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.04674668$ .

$f'' (0.04674668) = 121 {(0.04674668)}^{2} e^{11 (0.04674668)} + 44 (0.04674668) \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.04674668$ в степень $2$ .

$f'' (0.04674668) = 121 \cdot (0.00218525 e^{11 (0.04674668)}) + 44 (0.04674668) \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $121$ на $0.00218525$ .

$f'' (0.04674668) = 0.26441558 e^{11 (0.04674668)} + 44 (0.04674668) \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $11$ на $0.04674668$ .

$f'' (0.04674668) = 0.26441558 e^{0.51421356} + 44 (0.04674668) \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $0.26441558$ на $e^{0.51421356}$ .

$f'' (0.04674668) = 0.44218821 + 44 (0.04674668) \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $44$ на $0.04674668$ .

$f'' (0.04674668) = 0.44218821 + 2.05685424 \cdot e^{11 (0.04674668)} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $11$ на $0.04674668$ .

$f'' (0.04674668) = 0.44218821 + 2.05685424 \cdot e^{0.51421356} + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $2.05685424$ на $e^{0.51421356}$ .

$f'' (0.04674668) = 0.44218821 + 3.43972427 + 2 e^{11 (0.04674668)}$

Этап 7.2.1.8

Умножим $11$ на $0.04674668$ .

$f'' (0.04674668) = 0.44218821 + 3.43972427 + 2 e^{0.51421356}$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0.44218821$ и $3.43972427$ .

$f'' (0.04674668) = 3.88191248 + 2 e^{0.51421356}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $3.88191248$ и $2 e^{0.51421356}$ .

$f'' (0.04674668) = 7.2265581$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $7.2265581$ .

$7.2265581$

Этап 7.3

При $0.04674668$ вторая производная имеет вид $7.2265581$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 0.05325331, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 0.05325331, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 0.31038305, 0.00316972), (- 0.05325331, 0.00157866)$ .

$(- 0.31038305, 0.00316972), (- 0.05325331, 0.00157866)$

Этап 9