Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.866 x + \sin (x)$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $0.866 x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.866 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $0.866$ является константой относительно $x$ , производная $0.866 x$ по $x$ равна $0.866 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.866 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.866 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $0.866$ на $1$ .

$0.866 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0.866 + \cos (x)$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $0.866 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.1.2

Поскольку $0.866$ является константой относительно $x$ , производная $0.866$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Этап 1.2.3

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.9

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Подставляя в $f (x) = 0.866 x + \sin (x)$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \sin (- 0.1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $- \sin (- 0.1)$ .

$- \sin (- 0.1)$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.09983341$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty,)$ .

Возрастание в области $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \sin (0.1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- \sin (0.1)$ .

$- \sin (0.1)$

Этап 6.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.09983341$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(, \infty)$ .

Убывание на $(, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(,)$ .

$(,)$

Этап 8