Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $10 x - 10 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 e^{- x}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 1.1.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Этап 1.1.3.8

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $10 e^{- x} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 e^{- x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.2.2

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2.8

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $- 10 e^{- x}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 10 e^{- x} = 0$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 10 e^{- x} = 0$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба