Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4}$

Этап 3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

Этап 3.2.1.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 4}$

Этап 3.2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4}$

Этап 3.2.1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4}$

Этап 3.2.1.3.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{\infty}{\infty + 4}$

Этап 3.2.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$3 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Этап 3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]}$

Этап 3.2.3.3

По правилу суммы производная $e^{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 3.2.3.4

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 3.2.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Этап 3.2.3.6

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3 lim_{x \to \infty} 1$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$3 \cdot 1$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 4}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 4}$

Этап 4.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 4}$

Этап 4.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 4}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 4}$

Этап 4.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$3 \frac{0}{0 + lim_{x \to - \infty} 4}$

Этап 4.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{0}{0 + 4}$

Этап 4.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $0 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$3 \frac{4 (0)}{0 + 4}$

Этап 4.5.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 0 + 4}$

Этап 4.5.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$3 \frac{4 (0)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Этап 4.5.2.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ .

$3 \frac{4 (0)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Этап 4.5.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot (0 + 1)}$

Этап 4.5.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$3 \frac{0}{0 + 1}$

Этап 4.5.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$3 (\frac{0}{1})$

Этап 4.5.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$3 \cdot 0$

Этап 4.5.2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$0$

Этап 5

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 3, 0$

Этап 6

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 3, 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 8