Математический анализ Примеры

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 1

Найдем производную функции. Чтобы найти угловой коэффициент касательной к данной кривой, вычислим производную при искомом значении $x$ .

$\frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 3

Производную уравнения по $y$ также можно представить как $f' (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Этап 4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Этап 5

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 6

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 7.6.5

Найдем экспоненту.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Этап 8

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 9.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Этап 9.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Этап 9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Этап 9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 9.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Этап 10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Этап 10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Этап 10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Этап 10.5

Найдем экспоненту.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Этап 11

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{6}{9}$

Этап 12

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 (2)}{9}$

Этап 12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$

Этап 13

Производная при $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$