Математический анализ Примеры

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$h (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, π]$ .

$h (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $h$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Этап 6

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Этап 6.5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Этап 6.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{u^{5}}{5}$ в $- 1$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Этап 11.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Этап 11.2.4

Вычтем $\frac{1}{5}$ из $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Этап 11.2.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Этап 11.2.8

Объединим $6$ и $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Этап 11.2.9

Умножим $6$ на $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Этап 12.2

Добавим $π$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Этап 13.2

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Этап 14