Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Этап 1

Чтобы найти среднее значение функции, она должна быть непрерывной на замкнутом интервале $[a, b]$ . Чтобы узнать, непрерывно ли выражение $g (t)$ в области $[2, 5]$ , найдем область определения $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 + t^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 + t^{2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$t^{2} \geq - 5$

Этап 1.2.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Этап 1.4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 + t^{2}}$ в виде ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Упростим.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Этап 1.4.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} = - 5$

Этап 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 1.4.3.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 1.4.3.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 1.4.3.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Этап 1.4.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = i \sqrt{5}$

Этап 1.4.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - i \sqrt{5}$

Этап 1.4.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 1.5

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \in ℝ}$

Этап 2

$g (t)$ — непрерывное выражение в области $[2, 5]$ .

$g (t)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $g$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Этап 5

Пусть $u = 5 + t^{2}$ . Тогда $d u = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 5 + t^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $5 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 5.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $2 t$ .

$2 t$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Этап 5.3.2

Добавим $5$ и $4$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Этап 5.5.2

Добавим $5$ и $25$ .

$u_{upper} = 30$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Этап 8.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Этап 8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $30$ и в $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Этап 10.2.4

Найдем экспоненту.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Этап 10.2.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Этап 11.3.3

Перепишем это выражение.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Этап 12

Вычтем $2$ из $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Этап 14

Объединим $\frac{1}{3}$ и $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Этап 15

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Этап 16