Математический анализ Примеры

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ , $(4, \frac{7}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{7}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 1.8.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 1.10

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.12

Объединим $- 7$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 1.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.14

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{7}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.15.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 1.15.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 1.15.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{3}}$

Этап 1.15.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{7}{2^{1 + 3}}$

Этап 1.15.1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{7}{2^{4}}$

Этап 1.15.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{7}{16}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{7}{16}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{7}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7}{2}) = - \frac{7}{16} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{7}{2} = 0 + 0 - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} x - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{7}{16}$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{16}$ в числитель.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{16} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 (4)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 7}{4}$ и $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7 \cdot - 1}{4}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{7}{4}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{7}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{7}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{4}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 7 \cdot 2}{4}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $7$ на $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 14}{4}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $7$ и $14$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{21}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{7}{16} x) + \frac{21}{4}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{7}{16} x + \frac{21}{4}$

Этап 3