Математический анализ Примеры

$\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ , $(- 3, - \frac{12}{5})$

Этап 1

Запишем $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ в виде уравнения.

$y = \frac{36 x}{x^{2} + 36}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 3$ и $y = - \frac{12}{5}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $x^{2} + 36$ на $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$36 \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.9

Объединим $36$ и $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{36 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 (- x^{2}) + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $- 1$ на $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.10.2.2

Умножим $36$ на $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 1296}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.11

Найдем производную в $x = - 3$ .

$\frac{- 36 {(- 3)}^{2} + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 36 \cdot 9 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.12.1.2

Умножим $- 36$ на $9$ .

$\frac{- 324 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.12.1.3

Добавим $- 324$ и $1296$ .

$\frac{972}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{972}{{(9 + 36)}^{2}}$

Этап 2.12.2.2

Добавим $9$ и $36$ .

$\frac{972}{45^{2}}$

Этап 2.12.2.3

Возведем $45$ в степень $2$ .

$\frac{972}{2025}$

Этап 2.12.3

Сократим общий множитель $972$ и $2025$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Вынесем множитель $81$ из $972$ .

$\frac{81 (12)}{2025}$

Этап 2.12.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.2.1

Вынесем множитель $81$ из $2025$ .

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Этап 2.12.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Этап 2.12.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{25}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{12}{25}$ и координаты заданной точки $(- 3, - \frac{12}{5})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{12}{5}) = \frac{12}{25} \cdot (x - (- 3))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{12}{25} \cdot (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{12}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} x + \frac{12}{25} \cdot 3$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{12}{25}$ и $x$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12}{25} \cdot 3$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{12}{25} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Объединим $\frac{12}{25}$ и $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12 \cdot 3}{25}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $12$ на $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $\frac{12}{5}$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{12}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{12}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{25}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 12 \cdot 5}{25}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $- 12$ на $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 60}{25}$

Этап 3.3.2.5.2

Вычтем $60$ из $36$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Этап 3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{12 x}{25} - \frac{24}{25}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{12}{25} x - \frac{24}{25}$

Этап 4