Математический анализ Примеры

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = π$ и $y = π$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $2 x - 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 - 2 y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Упростим $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Этап 1.5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Этап 1.5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Этап 1.5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.4.1

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Этап 1.5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

Этап 1.5.2

Добавим $2 y'$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

Этап 1.5.3

Вычтем $\cos (x + y)$ из обеих частей уравнения.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y) + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x + y) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = π$ в $y = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $π$ .

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.3

Избавимся от скобок.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.4.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.4.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Добавим $π$ и $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

Этап 1.7.5.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

Этап 1.7.5.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

Этап 1.7.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{3}$ и координаты заданной точки $(π, π)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.6

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

Этап 2.3.2.7

Добавим $- π$ и $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

Этап 2.3.2.8

Разобьем дробь $\frac{x + 2 π}{3}$ на две дроби.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

Этап 3