Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 5}$ ; $(3, \frac{9}{8})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = \frac{9}{8}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 5$ .

$\frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (x + 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 5 x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 10}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 10$ .

$\frac{x (x + 10)}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{(3) ((3) + 10)}{{((3) + 5)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $3$ и $10$ .

$\frac{3 \cdot 13}{{(3 + 5)}^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Добавим $3$ и $5$ .

$\frac{3 \cdot 13}{8^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 13}{64}$

Этап 1.5.3

Умножим $3$ на $13$ .

$\frac{39}{64}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{39}{64}$ и координаты заданной точки $(3, \frac{9}{8})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{9}{8}) = \frac{39}{64} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{9}{8} = \frac{39}{64} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{39}{64} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{9}{8} = 0 + 0 + \frac{39}{64} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{9}{8} = \frac{39}{64} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{9}{8} = \frac{39}{64} x + \frac{39}{64} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{39}{64}$ и $x$ .

$y - \frac{9}{8} = \frac{39 x}{64} + \frac{39}{64} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{39}{64} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{39}{64}$ и $- 3$ .

$y - \frac{9}{8} = \frac{39 x}{64} + \frac{39 \cdot - 3}{64}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $39$ на $- 3$ .

$y - \frac{9}{8} = \frac{39 x}{64} + \frac{- 117}{64}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{9}{8} = \frac{39 x}{64} - \frac{117}{64}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{9}{8}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{39 x}{64} - \frac{117}{64} + \frac{9}{8}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{9}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{39 x}{64} - \frac{117}{64} + \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{9}{8}$ на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{39 x}{64} - \frac{117}{64} + \frac{9 \cdot 8}{8 \cdot 8}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $8$ на $8$ .

$y = \frac{39 x}{64} - \frac{117}{64} + \frac{9 \cdot 8}{64}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{39 x}{64} + \frac{- 117 + 9 \cdot 8}{64}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $9$ на $8$ .

$y = \frac{39 x}{64} + \frac{- 117 + 72}{64}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 117$ и $72$ .

$y = \frac{39 x}{64} + \frac{- 45}{64}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{39 x}{64} - \frac{45}{64}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{39}{64} x - \frac{45}{64}$

Этап 3