Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = - \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

Этап 1.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.2.3

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.4.5.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Вынесем множитель $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ из $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1.1

Вынесем множитель $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ из $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.1.2

Вынесем множитель $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ из $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.1.3

Вынесем множитель $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ из $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.4

Вычтем $5 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.5

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 6)}^{4}$ и ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{4}$ из $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Этап 1.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 6)}^{4}$ из ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.6

Перепишем $- (x^{2} + 4)$ в виде $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.8.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.9

Найдем производную в $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.10.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.10.1.3

Умножим $8$ на $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.10.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Этап 1.10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

Этап 1.10.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

Этап 1.10.2.3

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

Этап 1.10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Умножим $48$ на $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

Этап 1.10.3.2

Разделим $- 384$ на $64$ .

$- - 6$

Этап 1.10.3.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $6$ и координаты заданной точки $(- 2, - \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $6 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $6$ на $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $12$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $12$ на $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $1$ из $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

Этап 3