Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{3}{16}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

Этап 1.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ в виде ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3 x$ .

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

Этап 1.3.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Этап 1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Этап 1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Этап 1.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Этап 1.4.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Этап 1.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

Этап 1.4.7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.7.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

Этап 1.4.7.2

Применим правило умножения к $x (x - 3)$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.8

Умножим $- 2 x + 3$ на $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.9

Перенесем $6$ влево от $- 2 x + 3$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.11

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.13

Перепишем $- (2 x - 3)$ в виде $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Этап 1.6.1.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Этап 1.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вычтем $3$ из $4$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

Этап 1.6.2.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

Этап 1.6.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

Этап 1.6.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Умножим $6$ на $5$ .

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

Этап 1.6.3.2

Умножим $64$ на $1$ .

$- \frac{30}{64}$

Этап 1.6.3.3

Сократим общий множитель $30$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$- \frac{2 (15)}{64}$

Этап 1.6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Этап 1.6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Этап 1.6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{15}{32}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{15}{32}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{3}{16})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{15}{32}$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{15}{32}$ в числитель.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 15}{8}$ и $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 15$ на $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $15$ влево от $x$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{3}{16}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{15}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{15}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $8$ на $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $15$ на $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $30$ и $3$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

Этап 3