Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{7 - 4 x}{5 + x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 7 - 4 x$ и $g (x) = 5 + x$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [7 - 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $7 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [- 4 x] - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \frac{d}{d x} [x]) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(5 + x) (- 4 \cdot 1) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{(5 + x) \cdot - 4 - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Перенесем $- 4$ влево от $5 + x$ .

$\frac{- 4 \cdot (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

По правилу суммы производная $5 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x) \cdot 1}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4 (5 + x) - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - (7 - 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \cdot 5 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 1 \cdot 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 - (- 4 x)}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 20 - 4 x - 7 + 4 x}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим противоположные члены в $- 20 - 4 x - 7 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\frac{- 20 + 0 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Добавим $- 20$ и $0$ .

$\frac{- 20 - 7}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Вычтем $7$ из $- 20$ .

$\frac{- 27}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{27}{{(5 + x)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$27 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $27 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{27}{{(5 + x)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(5 + x)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $5 + x$ к $0$ .

$5 + x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Вычислим $\frac{7 - 4 x}{5 + x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 5$ вместо $x$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{5 - 5}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{7 - 4 \cdot - 5}{0}$

Этап 4.1.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены