Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Этап 4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (x)$ в $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 5

Используем формулу Пифагора для преобразования $1$ в $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ из ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Этап 6.2

Добавим ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ и ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Этап 6.3

Добавим $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ и $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 7

Умножить аргумент на $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 8

Объединим.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 9

Умножим ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Этап 10

Выразим $\sec (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Этап 11

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ из $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Этап 11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Этап 13

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 13.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 14.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Этап 14.3

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Этап 15

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 16.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 16.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 16.3

Умножим $\int \sec^{2} (u) d u$ на $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Этап 17

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Этап 18

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 20

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$