Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 5.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Этап 5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Этап 5.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Этап 5.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Этап 5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Этап 5.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Этап 6

Развернем $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x^{\frac{3}{2}}$ и $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.7

Добавим $3$ и $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6.8

Изменим порядок $x^{\frac{5}{2}}$ и $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$