Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Этап 4

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.5

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Возведем $\csc (t)$ в степень $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (t)$ в виде $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 10

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 11

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Этап 12

Запишем $\tan (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Этап 13.2

Объединим.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Этап 13.3

Сократим общий множитель ${\sin (t)}^{2}$ и $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Этап 13.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Этап 13.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Этап 13.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Этап 13.4

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 14

Умножим на $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 15

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Этап 16

Разделим дроби.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Этап 17

Переведем $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Этап 18

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 19

Поскольку производная $\sec (t)$ равна $\tan (t) \sec (t)$ , интеграл $\tan (t) \sec (t)$ равен $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Этап 20

Упростим.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Этап 21

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Этап 22

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$