Математический анализ Примеры

$\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ в виде функции.

$f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (u)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (u)$ .

$F (u) = \int f (u) d u$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (u) = \int \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 - u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 6

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 7

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (1 - u^{\frac{1}{2}}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8.2

Умножим $u^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 8.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - (u^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}) d u$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d u$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1 - 1}{2}} d u$

Этап 8.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{2}} d u$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 (0)}{2}} d u$

Этап 8.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Этап 8.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d u$

Этап 8.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{0}{1}} d u$

Этап 8.7.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - u^{0} d u$

Этап 8.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 d u$

Этап 8.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int u^{- \frac{1}{2}} - 1 d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 1 d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 1 d u$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C - u + C$

Этап 12

Упростим.

$2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (u) = \frac{1 - \sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$F (u) =$ $2 u^{\frac{1}{2}} - u + C$