Математический анализ Примеры

$19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Этап 1

Запишем $19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ в виде функции.

$f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (t) = \int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 5

Поскольку $19.21$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $19.21$ из-под знака интеграла.

$19.21 \int \sin (1.7 t + 0.3) d t + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Тогда $d u_{1} = 1.7 d t$ , следовательно $\frac{1}{1.7} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 1.7 t + 0.3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $1.7 t + 0.3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $1.7$ является константой относительно $t$ , производная $1.7 t$ по $t$ равна $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $1.7$ на $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $0.3$ является константой относительно $t$ , производная $0.3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1.7 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $1.7$ и $0$ .

$1.7$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$19.21 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 7

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{1.7}$ .

$19.21 \int \frac{\sin (u_{1})}{1.7} d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{1.7}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{1.7}$ из-под знака интеграла.

$19.21 (\frac{1}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{1.7}$ и $19.21$ .

$\frac{19.21}{1.7} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 10

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \int - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 11

Поскольку $- 16.32$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 16.32$ из-под знака интеграла.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (1.7 t + 0.3) d t$

Этап 12

Пусть $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Тогда $d u_{2} = 1.7 d t$ , следовательно $\frac{1}{1.7} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = 1.7 t + 0.3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $1.7 t + 0.3$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t + 0.3]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $1.7 t + 0.3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$ .

$\frac{d}{d t} [1.7 t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 12.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [1.7 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Поскольку $1.7$ является константой относительно $t$ , производная $1.7 t$ по $t$ равна $1.7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1.7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 12.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1.7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 12.1.3.3

Умножим $1.7$ на $1$ .

$1.7 + \frac{d}{d t} [0.3]$

Этап 12.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Поскольку $0.3$ является константой относительно $t$ , производная $0.3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1.7 + 0$

Этап 12.1.4.2

Добавим $1.7$ и $0$ .

$1.7$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{1.7} d u_{2}$

Этап 13

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{1.7}$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 \int \frac{\cos (u_{2})}{1.7} d u_{2}$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{1.7}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{1.7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - 16.32 (\frac{1}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{1.7}$ и $- 16.32$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{- 16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 16

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{19.21}{1.7} (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{16.32}{1.7} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

$11.3 (- \cos (u_{1})) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Этап 17.2

Умножим $- 1$ на $11.3$ .

$- 11.3 \cos (u_{1}) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (u_{2}) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1.7 t + 0.3$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - \frac{16.32}{1.7} \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разделим $16.32$ на $1.7$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 1 \cdot 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Этап 19.2

Умножим $- 1$ на $9.6$ .

$- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$

Этап 20

Ответ ― первообразная функции $f (t) = 19.21 \sin (1.7 t + 0.3) - 16.32 \cos (1.7 t + 0.3)$ .

$F (t) =$ $- 11.3 \cos (1.7 t + 0.3) - 9.6 \sin (1.7 t + 0.3) + C$