Математический анализ Примеры

${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(1 + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ .

$\int (1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2

Развернем $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.4

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Этап 4.3.1.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Этап 4.3.1.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Этап 4.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Этап 4.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\int 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- 2} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$x + C + 2 (\ln (| x |) + C) - x^{- 1} + C$

Этап 11

Упростим.

$x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C$