Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\tan^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

Этап 4.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Этап 4.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 4.5

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\int \cot^{2} (x) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Этап 9

Упростим.

$- x - \cot (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$