Математический анализ Примеры

$\tan^{-1} (π x)$

Этап 1

Запишем $\tan^{-1} (π x)$ в виде функции.

$f (x) = \tan^{-1} (π x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \tan^{-1} (π x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \tan^{-1} (π x)$ и $d v = 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int x \frac{π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Объединим $x$ и $\frac{π}{π^{2} x^{2} + 1}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \int \frac{x π}{π^{2} x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$\tan^{-1} (π x) x - (π \int \frac{x}{π^{2} x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Пусть $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 \cdot x π^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{2 π^{2}} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = π^{2} x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $π^{2} x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [π^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $π^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $π^{2} x^{2}$ по $x$ равна $π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$π^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.3.3

Перенесем $2$ влево от $π^{2}$ .

$2 π^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 π^{2} x + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $2 π^{2} x$ и $0$ .

$2 π^{2} x$

Этап 7.1.5

Изменим порядок $2 π^{2}$ и $x$ .

$x (2 π^{2})$

Этап 7.1.6

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$2 \cdot x π^{2}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2 π^{2}} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2 π^{2}}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{u (2 π^{2})} d u$

Этап 8.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\tan^{-1} (π x) x - π \int \frac{1}{2 u π^{2}} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2 π^{2}}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2 π^{2}}$ из-под знака интеграла.

$\tan^{-1} (π x) x - π (\frac{1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2 π^{2}}$ и $π$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $π$ и $π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим на $1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{2 π^{2}} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π^{2}$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{π \cdot 1}{π (2 π)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} (\ln (| u |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $π^{2} x^{2} + 1$ .

$\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \tan^{-1} (π x)$ .

$F (x) =$ $\tan^{-1} (π x) x - \frac{1}{2 π} \ln (| π^{2} x^{2} + 1 |) + C$