Математический анализ Примеры

$\frac{20}{6 + 2 t}$

Этап 1

Запишем $\frac{20}{6 + 2 t}$ в виде функции.

$f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (t) = \int \frac{20}{6 + 2 t} d t$

Этап 4

Сократим общий множитель $20$ и $6 + 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{6 + 2 t} d t$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 t} d t$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 (t)} d t$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (t)$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Этап 4.2.5

Перепишем это выражение.

$\int \frac{10}{3 + t} d t$

Этап 5

Поскольку $10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int \frac{1}{3 + t} d t$

Этап 6

Пусть $u = 3 + t$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 3 + t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $3 + t$ .

$\frac{d}{d t} [3 + t]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $3 + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 6.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$10 (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$10 \ln (| u |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $3 + t$ .

$10 \ln (| 3 + t |) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$ .

$F (t) =$ $10 \ln (| 3 + t |) + C$