Математический анализ Примеры

$2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$

Этап 1

Запишем $2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$ в виде функции.

$f (x) = 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 d x + \int 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x + C + \int 5 \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$2 x + C + 5 \int \sin (\frac{4 π x}{25}) d x$

Этап 7

Пусть $u = \frac{4 π x}{25}$ . Тогда $d u = \frac{4 π}{25} d x$ , следовательно $\frac{25}{4 π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \frac{4 π x}{25}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\frac{4 π x}{25}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{25}]$

Этап 7.1.2

Поскольку $\frac{4 π}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 π x}{25}$ по $x$ равна $\frac{4 π}{25} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 π}{25} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 π}{25} \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{4 π}{25}$ на $1$ .

$\frac{4 π}{25}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) \frac{1}{\frac{4 π}{25}} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{4 π}{25}$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) (1 \frac{25}{4 π}) d u$

Этап 8.2

Умножим $\frac{25}{4 π}$ на $1$ .

$2 x + C + 5 \int \sin (u) \frac{25}{4 π} d u$

Этап 8.3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{25}{4 π}$ .

$2 x + C + 5 \int \frac{\sin (u) \cdot 25}{4 π} d u$

Этап 8.4

Перенесем $25$ влево от $\sin (u)$ .

$2 x + C + 5 \int \frac{25 \sin (u)}{4 π} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{25}{4 π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{25}{4 π}$ из-под знака интеграла.

$2 x + C + 5 (\frac{25}{4 π} \int \sin (u) d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{25}{4 π}$ и $5$ .

$2 x + C + \frac{25 \cdot 5}{4 π} \int \sin (u) d u$

Этап 10.2

Умножим $25$ на $5$ .

$2 x + C + \frac{125}{4 π} \int \sin (u) d u$

Этап 11

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$2 x + C + \frac{125}{4 π} (- \cos (u) + C)$

Этап 12

Упростим.

$2 x - \frac{125 \cos (u)}{4 π} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4 π x}{25}$ .

$2 x - \frac{125 \cos (\frac{4 π x}{25})}{4 π} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$2 x - \frac{125}{4 π} \cos (\frac{4 π}{25} x) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 + 5 \sin (\frac{4 π x}{25})$ .

$F (x) =$ $2 x - \frac{125}{4 π} \cos (\frac{4 π}{25} x) + C$