Математический анализ Примеры

$x {(4 x - 1)}^{2}$

Этап 1

Запишем $x {(4 x - 1)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{2} d x$

Этап 4

Пусть $u = 4 x - 1$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) u^{2} \frac{1}{4} d u$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{2}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.2

Умножим $\frac{u}{4}$ на $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u^{1 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{u^{3}}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{2}}{4} d u$

Этап 6.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{u^{2}}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} d u$

Этап 6.8

Умножим $4$ на $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{16} + \frac{u^{2}}{16} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{u^{3}}{16} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{16}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{16}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{16} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{16}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{16}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} \int u^{2} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16 \cdot 4} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12.2.2

Умножим $16$ на $4$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12.2.3

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{16 \cdot 3} u^{3} + C$

Этап 12.2.4

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{1}{64} u^{4} + \frac{1}{48} u^{3} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 1$ .

$\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x {(4 x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{64} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{1}{48} {(4 x - 1)}^{3} + C$