Математический анализ Примеры

$x^{6} - 2 x^{3} + 1$

Этап 1

Приравняем $x^{6} - 2 x^{3} + 1$ к $0$ .

$x^{6} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 2 x^{3} + 1 = 0$

Этап 2.1.2

Пусть $u = x^{3}$ . Подставим $u$ вместо $x^{3}$ для всех.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 2.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

${(x^{3} - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(x^{3} - 1^{3})}^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

${((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

${((x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2} = 0$

Этап 2.2.4

Применим правило умножения к $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x^{2} + x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x^{2} + x + 1 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x^{2} + x + 1 = \pm 0$

Этап 2.5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 2.5.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3