Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + 3 x = 5$ , $(- 1, 5)$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 5]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Проверим дифференцируемость $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Этап 3.1.1.4.2

Добавим $4 x + 3$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3$

Этап 3.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x + 3$ .

$4 x + 3$

Этап 3.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[- 1, 5]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3.2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 1, 5]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3.3

Функция является дифференцируемой на $[- 1, 5]$ , поскольку производная является непрерывной на $[- 1, 5]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 4

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[- 1, 5]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[- 1, 5]$ .

Этап 5

Найдем производную $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 3 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Этап 5.4.2

Добавим $4 x + 3$ и $0$ .

$4 x + 3$

Этап 6

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{1 + {(4 x + 3)}^{2}} d x$

Этап 7

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (8 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Этап 7.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Умножим $8$ на $2$ .

$16 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Этап 7.1.1.2.2

Умножим $12$ на $2$ .

$16 x^{2} + 24 x + 2 \cdot 5$

Этап 7.1.1.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$16 x^{2} + 24 x + 10$

Этап 7.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 16$

$b = 24$

$c = 10$

Этап 7.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 7.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 16}$

Этап 7.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Этап 7.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (16)}$

Этап 7.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Этап 7.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{12}{16}$

Этап 7.1.4.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$d = \frac{4 (3)}{16}$

Этап 7.1.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 7.1.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 7.1.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{4}$

Этап 7.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 10 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 16}$

Этап 7.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.2.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$e = 10 - \frac{576}{4 \cdot 16}$

Этап 7.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$e = 10 - \frac{576}{64}$

Этап 7.1.5.2.1.3

Разделим $576$ на $64$ .

$e = 10 - 1 \cdot 9$

Этап 7.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 10 - 9$

Этап 7.1.5.2.2

Вычтем $9$ из $10$ .

$e = 1$

Этап 7.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1} d x$

Этап 7.2

Пусть $u = x + \frac{3}{4}$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u = x + \frac{3}{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $x + \frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{4}]$

Этап 7.2.1.2

По правилу суммы производная $x + \frac{3}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Этап 7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Этап 7.2.1.4

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4 + 3}{4}$

Этап 7.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$u_{lower} = \frac{- 4 + 3}{4}$

Этап 7.2.3.4.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1}{4}$

Этап 7.2.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

Этап 7.2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{upper} = 5 + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.5.2

Объединим $5$ и $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 7.2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4}$

Этап 7.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.4.1

Умножим $5$ на $4$ .

$u_{upper} = \frac{20 + 3}{4}$

Этап 7.2.5.4.2

Добавим $20$ и $3$ .

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Этап 7.2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Этап 7.2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{23}{4}} \sqrt{16 u^{2} + 1} d u$

Этап 7.3

Пусть $u = \frac{1}{4} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ положительно.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим $\sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\tan (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{\tan (t)}{4})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\tan (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{4^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.1.4

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $\sec (t)$ и $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Этап 7.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{4} d t$

Этап 7.4.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{3} (t)}{4} d t$

Этап 7.5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec^{3} (t) d t$

Этап 7.6

Применим формулу приведения.

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) d t)$

Этап 7.7

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543})$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Этап 7.8.2

Чтобы записать $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Этап 7.8.3

Объединим $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Этап 7.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Этап 7.8.5

Перенесем $2$ влево от $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Этап 7.8.6

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{4 \cdot 2}$

Этап 7.8.7

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Этап 7.9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Найдем значение $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ в $1.52734543$ и в $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Этап 7.9.2

Найдем значение $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ в $1.52734543$ и в $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + (\ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Этап 7.9.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Этап 7.10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (\frac{7 π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \tan (\frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1 \cdot 1 \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.5

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{7 π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.7

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \frac{2}{\sqrt{2}}}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ в числитель.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 (- 1)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.11

Умножим $- - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + 1 \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.11.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.12.1.1

Найдем значение $\tan (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.12.1.2

Найдем значение $\sec (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \cdot 23.02172886}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.12.2

Умножим $23$ на $23.02172886$ .

$\frac{2 (\frac{529.49976392}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.12.3

Разделим $529.49976392$ на $2$ .

$\frac{2 (264.74988196 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.13

Добавим $264.74988196$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 265.45698874 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.14

Умножим $2$ на $265.45698874$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.15

$\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)$ приблизительно равно $46.02172886$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{7 π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16.4

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{7 π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16.5

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - \tan (\frac{π}{4}) |})}{8}$

Этап 7.11.16.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.8.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.8.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.8.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.8.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.16.8.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.8.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sqrt{2} - 1 |})}{8}$

Этап 7.11.16.9

$\sqrt{2} - 1$ приблизительно равно $0.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Десятичная форма:

$66.95305809 \dots$

Этап 9