Математический анализ Примеры

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - x + 9$ и $g (x) = 3 x - 3$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(- x + 9)}^{2}$ в виде $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.2

Развернем $(- x + 9) (- x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $9$ на $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.7

Умножим $9$ на $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Этап 2.1.4

Перепишем ${(3 x - 3)}^{2}$ в виде $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Этап 2.1.5

Развернем $(3 x - 3) (3 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Этап 2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.5

Умножим $3$ на $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Этап 2.1.6.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 18$ на $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.8.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $- 18 x$ и $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Этап 2.2.1.2

Добавим $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ и $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Этап 2.2.2

Вычтем $9 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Этап 2.2.3

Вычтем $9$ из $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Этап 4

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Найдем значение $72 x$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.6

Добавим $9$ и $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.7

Умножим $- 8$ на $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.8

Умножим $72$ на $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Этап 8.3.9

Умножим $- 72$ на $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Этап 8.3.10

Добавим $216$ и $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Этап 8.3.11

Добавим $- 72$ и $216$ .

$V = π \cdot 144$

Этап 8.3.12

Перенесем $144$ влево от $π$ .

$V = 144 π$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = 144 π$

Десятичная форма:

$V = 452.38934211 \dots$

Этап 10