Математический анализ Примеры

$y = 6 - \frac{5}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - \frac{5 x}{2} + 6$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- \frac{5 x}{2} + 6)}^{2}$ в виде $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ .

$V = (- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Этап 2.2

Развернем $(- \frac{5 x}{2} + 6) (- \frac{5 x}{2} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2} + 6) + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2} + 6)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{5 x}{2} \cdot (- \frac{5 x}{2}) - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $- \frac{5 x}{2} (- \frac{5 x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 (\frac{5 x}{2}) \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $\frac{5 x}{2}$ на $1$ .

$V = \frac{5 x}{2} \cdot \frac{5 x}{2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим $\frac{5 x}{2}$ на $\frac{5 x}{2}$ .

$V = \frac{5 x (5 x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $5$ на $5$ .

$V = \frac{25 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{25 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \frac{25 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.9

Умножим $2$ на $2$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot 6 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 (3)) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} + \frac{- 5 x}{2} \cdot (2 \cdot 3) + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 5 x \cdot 3 + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (- \frac{5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 6 (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 (3) (\frac{- 5 x}{2}) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5 x}{2})) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x + 3 (- 5 x) + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 6 \cdot 6$

Этап 2.3.1.6

Умножим $6$ на $6$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 15 x - 15 x + 36$

Этап 2.3.2

Вычтем $15 x$ из $- 15 x$ .

$V = \frac{25 x^{2}}{4} - 30 x + 36$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{25 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{25}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{25}{4}$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{25}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{25}{4}$ и $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 30 x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 30$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 30$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 36 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{25 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 36 x]_{0}^{1})$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 x]_{0}^{1})$

Этап 11.3

Найдем значение $36 x$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{25 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$V = π (\frac{25 (\frac{1}{3})}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.6

Объединим $25$ и $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{25}{3}}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.7

Перепишем $\frac{\frac{25}{3}}{4}$ в виде произведения.

$V = π (\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.8

Умножим $\frac{25}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{25}{3 \cdot 4} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.9

Умножим $3$ на $4$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} - 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2} + 0) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.14

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 30 (\frac{1}{2}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.15

Объединим $- 30$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 30}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.16

Сократим общий множитель $- 30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.16.2.4

Разделим $- 15$ на $1$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.17

Чтобы записать $- 15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} - 15 \cdot \frac{12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.18

Объединим $- 15$ и $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{25}{12} + \frac{- 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{25 - 15 \cdot 12}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.20.1

Умножим $- 15$ на $12$ .

$V = π (\frac{25 - 180}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.20.2

Вычтем $180$ из $25$ .

$V = π (\frac{- 155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.22

Умножим $36$ на $1$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 - 36 \cdot 0)$

Этап 11.4.23

Умножим $- 36$ на $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 + 0)$

Этап 11.4.24

Добавим $36$ и $0$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36)$

Этап 11.4.25

Чтобы записать $36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + 36 \cdot \frac{12}{12})$

Этап 11.4.26

Объединим $36$ и $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{155}{12} + \frac{36 \cdot 12}{12})$

Этап 11.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 155 + 36 \cdot 12}{12})$

Этап 11.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.28.1

Умножим $36$ на $12$ .

$V = π (\frac{- 155 + 432}{12})$

Этап 11.4.28.2

Добавим $- 155$ и $432$ .

$V = π (\frac{277}{12})$

Этап 11.4.29

Объединим $π$ и $\frac{277}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 277}{12}$

Этап 11.4.30

Перенесем $277$ влево от $π$ .

$V = \frac{277 π}{12}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{277 π}{12}$

Десятичная форма:

$V = 72.51843042 \dots$

Этап 13