Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2}}{4}$ , $x = 3$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{2}}{4}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{16}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{16}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{16}$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{16}$ и $π$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{3} x^{4} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5}$ в $3$ и в $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $243$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Этап 6.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Этап 6.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

Этап 6.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{243}{5} + 0)$

Этап 6.2.6

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{243}{5}$

Этап 6.2.7

Умножим $\frac{π}{16}$ на $\frac{243}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{16 \cdot 5}$

Этап 6.2.8

Умножим $16$ на $5$ .

$V = \frac{π \cdot 243}{80}$

Этап 6.2.9

Перенесем $243$ влево от $π$ .

$V = \frac{243 π}{80}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{243 π}{80}$

Десятичная форма:

$V = 9.54258768 \dots$

Этап 8