Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.7

Умножим $5$ на $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку функция $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $5$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2}}$

Этап 4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x}}{3 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.5

Умножим $5$ на $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.7

Умножим $25$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 4.3.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{3 (2 x)}$

Этап 4.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 25 e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Этап 5.1.2

Поскольку функция $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $25$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $25$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Этап 5.1.2.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

Этап 5.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [25 e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.2

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 e^{5 x}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{25 e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.5

Умножим $5$ на $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.7

Умножим $125$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

Этап 5.3.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6 \cdot 1}$

Этап 5.3.10

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{125 e^{5 x}}{6}$

Этап 6

Поскольку функция $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{125}{6}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{125}{6}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{5 x}$

Этап 6.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$