Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \log (x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\log (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\log (1)}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Этап 1.2.3

Логарифм $1$ по основанию $10$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + 5 x - 12}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 7 x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Этап 1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 12}$

Этап 1.3.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 12}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{7 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{7 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.7.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 \cdot 1 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.7.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 1 \cdot 12}$

Этап 1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{0}{7 + 5 - 12}$

Этап 1.3.7.2

Добавим $7$ и $5$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Этап 1.3.7.3

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\log (x)}{7 x^{2} + 5 x - 12} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Этап 3.2

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x - 12]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 5 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $7$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.5.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.6

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5 + 0}$

Этап 3.7

Добавим $14 x + 5$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{14 x + 5}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{14 x + 5}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{x \ln (10)}$ на $\frac{1}{14 x + 5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (10) (14 x + 5)}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{\ln (10)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (14 x + 5)}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (14 x + 5)}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} 14 x + 5}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} 14 x + lim_{x \to 1} 5)}$

Этап 11

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5)}$

Этап 12

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 lim_{x \to 1} x + 5)}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{1 \cdot (14 \cdot 1 + 5)}$

Этап 14.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 \cdot 1 + 5}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $14$ на $1$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{14 + 5}$

Этап 14.2.2

Добавим $14$ и $5$ .

$\frac{1}{\ln (10)} \cdot \frac{1}{19}$

Этап 14.3

Умножим $\frac{1}{\ln (10)}$ на $\frac{1}{19}$ .

$\frac{1}{\ln (10) \cdot 19}$

Этап 14.4

Перенесем $19$ влево от $\ln (10)$ .

$\frac{1}{19 \ln (10)}$