Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

Этап 1.3

Когда $x$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Этап 3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{3}{x}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

Этап 6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

Этап 6.2.5

Разделим $3 x^{- \frac{1}{3}}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 7.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ стремится к $0$ .

$3 \cdot 0$

Этап 9

Умножим $3$ на $0$ .

$0$