Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок $2$ и $- x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Этап 1.3.2

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $11 x^{2} - 2 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x^{2}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.6

Добавим $22 x - 2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.9.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Этап 3.10

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Этап 4

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Этап 5

$- \infty$