Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 2 x^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 2 x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 2 \cdot 1^{2} + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.2.7.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 1}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $3 x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2} + 0}$

Этап 3.10

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2}}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 4 x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Этап 12.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4 \cdot 1}{1^{2}}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 4}{1^{2}}$

Этап 12.1.4

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1^{2}}$

Этап 12.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

Этап 12.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3}$