Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем предел $\arcsin (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 5.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Этап 5.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Этап 5.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Этап 5.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 7.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 7.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 7.2

Разделим $1$ на $1$ .

$1$