Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.6

Умножим $5$ на $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ и $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Этап 2.2

Упростим $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Умножим $4$ на $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 2.2.1.4.2

Умножим $6$ на $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 2.2.1.4.3

Умножим $4$ на $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Этап 2.2.1.4.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Этап 2.2.2.2

Добавим $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ и $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Этап 2.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 2, 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 2, 0$ .

$- 2, 0$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 5 {((- 3) + 1)}^{4} - 5$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Добавим $- 3$ и $1$ .

$f' (- 3) = 5 {(- 2)}^{4} - 5$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 3) = 5 \cdot 16 - 5$

Этап 5.2.1.3

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (- 3) = 80 - 5$

Этап 5.2.2

Вычтем $5$ из $80$ .

$f' (- 3) = 75$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $75$ .

$75$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $75$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 {((- 1) + 1)}^{4} - 5$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 0^{4} - 5$

Этап 6.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 0 - 5$

Этап 6.2.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$f' (- 1) = 0 - 5$

Этап 6.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f' (- 1) = - 5$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 5$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 0)$ .

Убывание на $(- 2, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 5 {((1) + 1)}^{4} - 5$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (1) = 5 \cdot 2^{4} - 5$

Этап 7.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (1) = 5 \cdot 16 - 5$

Этап 7.2.1.3

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (1) = 80 - 5$

Этап 7.2.2

Вычтем $5$ из $80$ .

$f' (1) = 75$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $75$ .

$75$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $75$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 0)$

Этап 9