Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x + 7 x^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $9 x + 7 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{- 1}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$9 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 + 7 (- x^{- 2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$9 - 7 x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 9$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 7 x^{- 2} + 9$ .

$- 7 x^{- 2} + 9$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 7 x^{- 2} + 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 9 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 9 = 0$

Этап 2.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 9 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{x^{2}} + 9 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 9$

Этап 2.4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.4.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.5

Каждый член в $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим каждый член $- \frac{7}{x^{2}} = - 9$ на $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 9 x^{2}$

Этап 2.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 7 = - 9 x^{2}$

Этап 2.6

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 9 x^{2} = - 7$ .

$- 9 x^{2} = - 7$

Этап 2.6.2

Разделим каждый член $- 9 x^{2} = - 7$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Разделим каждый член $- 9 x^{2} = - 7$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 2.6.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{7}{9}$

Этап 2.6.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{9}}$

Этап 2.6.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{7}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}$

Этап 2.6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 2.6.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$

Этап 2.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Этап 2.6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Этап 2.6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{3}, - \frac{\sqrt{7}}{3}$

Этап 4

Зададим основание в $x^{- 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.8819171$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 {(- 1.8819171)}^{- 2} + 9$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \frac{1}{{(- 1.8819171)}^{2}} + 9$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1.8819171$ в степень $2$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Этап 6.2.1.3

Разделим $1$ на $3.54161197$ .

$f' (- 1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 7$ на $0.2823573$ .

$f' (- 1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Этап 6.2.2

Добавим $- 1.97650111$ и $9$ .

$f' (- 1.8819171) = 7.02349888$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $7.02349888$ .

$7.02349888$

Этап 6.3

При $x = - 1.8819171$ производная имеет вид $7.02349888$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 0.8819171, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.44095855$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 {(- 0.44095855)}^{- 2} + 9$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \frac{1}{{(- 0.44095855)}^{2}} + 9$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 0.44095855$ в степень $2$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Этап 7.2.1.3

Разделим $1$ на $0.19444444$ .

$f' (- 0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 7$ на $5.14285718$ .

$f' (- 0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Этап 7.2.2

Добавим $- 36.0000003$ и $9$ .

$f' (- 0.44095855) = - 27.0000003$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Этап 7.3

При $x = - 0.44095855$ производная имеет вид $- 27.0000003$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.8819171, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.44095855$ .

$f' (0.44095855) = - 7 {(0.44095855)}^{- 2} + 9$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \frac{1}{{0.44095855}^{2}} + 9$

Этап 8.2.1.2

Возведем $0.44095855$ в степень $2$ .

$f' (0.44095855) = - 7 (\frac{1}{0.19444444}) + 9$

Этап 8.2.1.3

Разделим $1$ на $0.19444444$ .

$f' (0.44095855) = - 7 \cdot 5.14285718 + 9$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 7$ на $5.14285718$ .

$f' (0.44095855) = - 36.0000003 + 9$

Этап 8.2.2

Добавим $- 36.0000003$ и $9$ .

$f' (0.44095855) = - 27.0000003$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 27.0000003$ .

$- 27.0000003$

Этап 8.3

При $x = 0.44095855$ производная имеет вид $- 27.0000003$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ .

Убывание на $(0, \frac{\sqrt{7}}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.8819171$ .

$f' (1.8819171) = - 7 {(1.8819171)}^{- 2} + 9$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \frac{1}{{1.8819171}^{2}} + 9$

Этап 9.2.1.2

Возведем $1.8819171$ в степень $2$ .

$f' (1.8819171) = - 7 (\frac{1}{3.54161197}) + 9$

Этап 9.2.1.3

Разделим $1$ на $3.54161197$ .

$f' (1.8819171) = - 7 \cdot 0.2823573 + 9$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 7$ на $0.2823573$ .

$f' (1.8819171) = - 1.97650111 + 9$

Этап 9.2.2

Добавим $- 1.97650111$ и $9$ .

$f' (1.8819171) = 7.02349888$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $7.02349888$ .

$7.02349888$

Этап 9.3

При $x = 1.8819171$ производная имеет вид $7.02349888$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{\sqrt{7}}{3}), (\frac{\sqrt{7}}{3}, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{\sqrt{7}}{3}, 0), (0, \frac{\sqrt{7}}{3})$

Этап 11